在足球场上，下一分钟将发生什么？
足球里有一句名言：足球是圆的。
意思是，在足球里，什么都有可能发生。
这句话背后隐藏着一个深刻的数学模型。
统计学中，有一个被称为“随机过程”的子学科。
在这个领域里，有这么一种过程，它满足一种性质：未来只和现在有关，和过去无关。
听起来是不是很像足球比赛？
这种过程被称为马尔可夫过程，这种性质被称为马尔可夫性。
我们知道，足球比赛中的进球是一个累加过程，从0到1，再到2，以此类推。
这种累加过程被统计学家称为计数过程。而有马尔可夫性的计数过程被称为泊松过程。
你可能会问，足球比赛中的进球是否真的满足马尔可夫性，也就是说，下一分钟有没有进球真的只取决于现在的状态，而和过去无关吗？
我一直听闻，足球中的进球满足泊松过程。
要想知道它是不是满足泊松过程，只需要检查进球间的时间间隔是否满足指数分布。容易证明，两者是等价的。
2023年7月14日上午，我终于去谷歌上进行了一番搜索。
很多地方都声称足球中的进球满足泊松过程（或者声称进球间的时间间隔满足指数分布），比如这篇博客，但是却没有数据支持自己的说法。
在谷歌学术上，我找到一篇有数据的论文。文中，作者统计了1990-2002的四届世界杯的数据，发现进球间的时间间隔的分布和指数分布极其相似。但我觉得，只用四届世界杯的数据也太少了点。如果我用所有世界杯的数据呢？一百年来，世界杯一共也就几千个进球，FIFA应该会保存这些珍贵的数据吧？
随后，我在Google上使用site:www.kaggle.com goal data of FIFA World Cup进行搜索，在kaggle上找到了1930-2022世界杯的全部进球的数据。
之后，我分析了数据，发现进球间的时间间隔的分布和指数分布极其相似。
于是乎，至少在足球场上，未来真的只在乎现在，而不念过往。
领先的一方不要得意，落后的一方不要放弃。
如果人生真的是足球，那该多好！